ریاضی‌دان‌ها روشی جدید برای شمارش اعداد اول کشف کردند

گرین و ساونی نمی‌توانستند به طور مستقیم تعداد اعداد اول تولیدشده از مربع دو عدد اول و مجموع آن‌ها با یکدیگر را شمارش کنند؛ اما اگر کمی محدودیت خود را کاهش می‌دادند چطور؟ آن‌ها متوجه شدند که می‌توانند نسخه‌ی ضعیف‌تری از مسئله را اجرا کنند که در آن اعداد مجذور تقریبا اول بودند.

یافتن اعداد اول تقریبی آسان‌تر از اعداد اول است. فرض کنید بخواهید کل اعداد اول تقریبی بین یک و ۲۰۰ را بشمارید. در ابتدا مجموعه‌ای از کوچک‌ترین اعداد اول مثل ۲، ۳، ۵ و ۷ را درنظر بگیرید. سپس کل اعداد را که بر این اعداد اول بخش‌پذیر نیستند فهرست کنید. این اعداد، اعداد اول تقریبی نامیده می‌شوند. در این نمونه به ۵۰ عدد اول تقریبی می‌رسیم که ۴۶ عدد از آن‌ها واقعا اول هستند، در حالی که چهار عدد باقی‌مانده (۱۲۱، ۱۴۳، ۱۶۹ و ۱۸۷) اول نیستند. از آنجا که اعداد اول تقریبی توزیع تصادفی کمتری نسبت به اعداد اول دارند، کار با آن‌ها به شکل چشمگیری آسان‌تر است.

با این‌حال مسئله واضح نبود. آن‌ها باید مجموعه خاصی از توابع به نام جمع‌های نوع ۱ و نوع ۲ را برای هر نسخه از مسئله‌ی خود تحلیل می‌کردند و سپس نشان می‌دادند که این مجموع‌ها صرف‌نظر از نوع محدودیت به کار رفته هم‌ارز هستند. سپس در این صورت می‌دانستند که آیا می‌توانند اعداد اول تقریبی را بدون از دست دادن اطلاعات در اثبات خود قرار دهند یا خیر.

ریاضی‌دان‌ها خیلی زود به نتیجه رسیدند و توانستند با ابزاری هم‌ارزی جمع‌ها را نشان دهند. ابزار یادشده که هنجار گورز نامیده می‌شود چند دهه قبل توسط ریاضیدانی به نام تیموتی گورز برای اندازه‌گیری میزان تصادفی بودن یا ساختاریافته بودن یک تابع یا مجموعه‌ای از اعداد ابداع شد. در ظاهر به نظر می‌رسد، هنجار گورز به یک حوزه‌ی کاملا متفاوت از ریاضیات تعلق دارد.

با این‌حال گرین و ساونی با استفاده از نتیجه‌ای که در سال ۲۰۱۸ توسط ریاضی‌دان‌هایی به نام ترنس تائو و تامار زیگلر اثبات شد، روشی برای ایجاد ارتباط بین هنجارهای گورز و مجموع‌های نوع ۱ و ۲ پیدا کردند. آن‌ها به‌ویژه به هنجارهای گورز نیاز دارند تا نشان دهند دو مجموعه‌شان از اعداد اول، یعنی مجموعه‌ای که با اعداد اول تقریبی ساخته شده و مجموعه‌ای از اعداد اول واقعی به اندازه‌ی کافی به یکدیگر شبیه هستند.

مشخص شد ساونی از قبل روش این کار را می‌دانست. او در اوایل سال جاری برای حل یک مسئله‌ی غیرمرتبط، تکنیکی را برای مقایسه‌ی مجموعه‌ها با استفاده از هنجارهای گورز ابداع کرد. در کمال شگفتی، این تکنیک به خوبی نشان می‌داد که دو مجموعه دارای مجموع‌های یکسان نوع ۱ و ۲ هستند.

گرین و ساونی با توجه به داده‌های موجود حدس فریدلندر و ایوانیک را ثابت کردند: بی‌نهایت عدد اول وجود دارند که می‌توان به صورت  p^2 + 4q^2 نوشت. در نهایت، آن‌ها توانستند نتیجه را برای اثبات انواع خانواده‌های دیگر تعمیم دهند.

این پژوهش نشان می‌دهد که هنجار گورز می‌تواند به شکل ابزاری قدرتمند در یک قلمروی جدید عمل کند. ریاضی‌دان‌ها امیدوارند محدوده‌ی هنجار گورز را بیشتر گسترش دهند و از آن‌ برای حل مسئله‌های فراتر از شمارش اعداد اول در نظریه‌ اعداد استفاده کنند.