نماد مدرن برای ریشه‌های دوم در قرن‌های ۱۶ و ۱۷ مورد استفاده قرار گرفت. با‌این‌حال، این سوال وجود داشت که آیا ریشه دوم دو به همان شکلی که عدد ۲ وجود دارد، وجود دارد؟ مشخص نبود.

ریاضیدانان با این ابهام به زندگی خود ادامه دادند. سپس در اواسط دهه ۱۸۰۰، ریچارد ددکیند متوجه شد حسابان (که ۲۰۰ سال قبل توسط ایزاک نیوتن و گوتفرید ویلهلم لایبنیتس ایجاد شده بود) شالوده‌ای سست دارد.

ددکیند، ریاضیدانی محتاط اما با استعداد که به کندی کار می‌کرد و آثار نسبتا کمی را منتشر می‌کرد، می‌خواست به دانشجویان خود درباره توابع پیوسته آموزش دهد، ولی متوجه شد نمی‌تواند توضیح رضایت‌بخشی از معنای پیوسته بودن تابع ارائه دهد. او حتی تعریف دقیقی از توابع در ذهن نداشت و استدلال کرد که به درک خوبی از نحوه عملکرد اعداد نیاز دارد.

ریچارد ددکیند این سوال را مطرح کرد که آیا می‌توانید اطمینان داشته باشید که رادیکال ۲ ضرب در رادیکال ۳ برابر رادیکال ۶ می‌شود؟ او می‌خواست پاسخ‌هایی ارائه دهد. بنابراین، راهی برای تعریف و ساخت اعداد گنگ تنها با استفاده از اعداد گویا ارائه کرد. نحوه کار به این صورت است: نخست، تمام اعداد گویا را به دو مجموعه تقسیم کنید به‌طوری‌که همه کسرهای یک مجموعه کوچک‌تر از همه کسرهای مجموعه دیگر باشند. به‌عنوان مثال، در یک گروه، کل اعداد گویا را در کنار هم قرار دهید که مجذور (توان دوم) همه آن‌ها کمتر از ۲ باشد و در گروه دیگر کل اعداد گویایی را قرار دهید که مجذور آن‌ها بزرگ‌تر از ۲ باشد.

دقیقا یک «عدد» شکاف میان این دو مجموعه داده را پر می‌کند. ریاضیدانان به آن برچسب «رادیکال ۲» یا «ریشه دوم ۲» می‌دهند. برای ددکیند، عدد گنگ با یک جفت مجموعه بی‌نهایت از اعداد گویا تعریف می‌شد که چیزی را ایجاد می‌کردند که وی آن را «برش» نامید.