یکی از جملات قصار دوست‌داشتنی دنیای نجوم که کارل سیگن، اخترشناس فقید بر سر زبان‌ها انداخت، این است که تعداد ستارگان جهان فراتر از تمام دانه‌های ماسه در کل سواحل روی زمین است.

درک چنین موضوعی سخت است. وقتی در ساحل می‌ایستید، می‌توانید ماسه‌های بی‌شماری را ببینید. با درنظرگرفتن کل سواحل روی زمین، تعداد تمام ماسه‌های سیاره به‌طرز شمارش‌ناپذیر چندین برابر می‌شود. بااین‌حال، طبق جمله‌ی قصار معروف، شمار ستارگان در کیهان حتی از تعداد ماسه‌ها نیز فراتر است. واقعا نمی‌توان چنین عددی را درک کرد.

کسانی که با دنیای نجوم آشنا هستند، حتما دست‌کم یک‌بار جمله‌ی یادشده را شنیده‌اند. اما جمله‌ی قصار سیگن مانند بسیاری از نقل‌قول‌های میخکوب‌کننده و باورنکردنی، ارزش پرسیدن یک سوال بسیار اساسی را دارد. آیا واقعا درست است؟

متاسفانه نمی‌توان به سوال بالا پاسخ سرراست یک‌کلمه‌ای داد؛ زیرا یافتن جواب به فرضیات زیادی بستگی دارد که باید درنظرگرفت و تعیین برخی از آن‌ها اصلا ساده نیست.

معمولا وقتی اخترشناسان به‌طور کلی چیزها را تخمین می‌زنند، ترجیح می‌دهند تا ضریب ۱۰ دقیق باشند؛ یعنی عددی که به دست می‌آورند، بین یک‌دهم تا ۱۰ برابر بزرگ‌تر از پاسخ واقعی باشد. این مسئله همان چیزی است که اخترشناسان، «مرتبه بزرگی» می‌نامند. مثلا نباید نگران تخمینی بود که دو یا سه برابر کمتر یا بیشتر است؛ زیرا به اندازه‌ی کافی به پاسخ واقعی نزدیک است.

درنتیجه با درنظرگرفتن میزان گنگی پاسخ مورد نیازمان، به مسئله‌ی ماسه‌ها و ستارگان بازمی‌گردیم. ابتدا بیایید به نجوم نگاه کنیم. به‌عنوان مثال، راه شیری ما کهکشان بزرگی محسوب می‌شود که از صدها میلیارد ستاره تشکیل شده است. درحقیقت، تعیین این عدد بسیار سخت است؛ زیرا ما درون کهکشان هستیم و دیدمان از بخش عمده‌ای از آن، به‌وسیله‌ی گاز و غبار کدر مسدود شده است. باید درنظر داشت که ستارگان می‌توانند طیف وسیعی از درخشندگی را داشته باشند. می‌توانیم عدد ۲۰۰ میلیارد را تخمینی محافظه‌کارانه بنامیم.

اکنون صرفا باید ۲۰۰ میلیارد را در تعداد کهکشان‌های جهان مشاهده‌پذیر ضرب کنیم تا دریابیم که کل ستارگان کیهان چقدر است. تیمی از اخترشناسانی که روی این مسئله کار می‌کنند، نتایج خود را در سال ۲۰۱۶ منتشر کردند و اظهار داشتند که تقریبا دو تریلیون کهکشان در جهان وجود دارد.

پس آیا می‌توانیم ۲۰۰ میلیارد را در دو تریلیون ضرب کنیم تا به جواب برسیم؟ متاسفانه مسئله به این سادگی‌ها نیست. اخترشناسانی که عدد دو تریلیون را تخمین زده‌اند، در واقع کهکشان‌هایی را که جرم کل ستارگانشان بیش از یک میلیون برابر جرم خورشید بود، در محاسباتشان درنظر گرفتند.

تخمین یک میلیون درمقایسه با جرم راه شیری، ۲۰۰هزار برابر کمتر است! درنتیجه ما نمی‌توانیم فقط از کهکشان راه شیری به عنوان الگوی خود استفاده کنیم. خبر خوب در اینجا این است که کهکشان‌های کم‌جرم، مثل ستارگان احتمالا بسیار بیشتر از کهکشان‌های کلان‌جرم‌تر هستند و درنتیجه، تعداد بیشتر آن‌ها جمعیت ستارگان کمترشان را جبران می‌کند. استفاده از یک میلیون جرم خورشیدی در هر کهکشان احتمالا به اندازه‌ی کافی نزدیک است.

اما یک مسئله‌ی دیگر وجود دارد. یک میلیون جرم خورشیدی به معنای یک میلیون ستاره در هر کهکشان نیست! خورشید درمقایسه با اکثر ستارگان که اغلبشان درواقع کوتوله‌های سرخ کوچک‌تر هستند، به‌طور غیرعادی پرجرم است. ستارگان هم‌جرم یا کلان‌جرم‌تر از خورشید فقط حدود ۱۰ درصد از کل ستارگان را تشکیل می‌دهند؛ درنتیجه درجهان به ازای هر جرم خورشیدی، نزدیک به ۱۰ ستاره وجود دارد. ما باید یک میلیون جرم خورشیدی هر کهکشان را در ۱۰ ضرب کنیم. بدین ترتیب، به‌طور متوسط ۱۰ میلیون ستاره در هر کهکشان به‌دست می‌آید.

بنابراین ما می‌توانیم تعداد کل ستارگان را ۱۰ میلیون ضرب‌در ۲ تریلیون = ۲۰ میلیون تریلیون = ۲۰ کنتیلیون یا ۲ ضرب‌در ۱۰ به توان ۱۹ ستاره تخمین بزنیم. کیهان اصلا دچار کمبود ستاره نیست.

اما عدد به‌دست‌آمده از تعداد ماسه‌های زمین کمتر است یا بیشتر؟ اکنون زمان آن فرارسیده که به سراغ تخمین‌های زمینی‌تر مسئله برویم. ساده‌ترین راه برای برآورد تعداد دانه‌های ماسه در تمام سواحل جهان این است که حجم ماسه را در آن سواحل، مثلا برحسب متر مکعب تعیین کنیم و سپس آن را در تعداد دانه‌های ماسه در متر مکعب ضرب کنیم. یافتن این اعداد آن‌قدرها سخت نیست.

در هر متر معکب چقدر ماسه وجود دارد؟ پاسخ به اندازه‌ی دانه‌ی ماسه بستگی دارد که از زیر ۰/۱ میلی‌متر تا تقریبا ۲ میلی‌متر متغیر است. بیایید آن را به‌طور متوسط یک میلی‌متر درنظر بگیریم. آنگاه یک متر مکعب حاوی ۱۰۰۰ ضرب‌در ۱۰۰۰ ضرب‌در ۱۰۰۰ = یک میلیارد دانه‌ی ماسه خواهد بود.

چنین عددی برای صرفا یک متر مکعب بسیار زیاد است. فقط چند صد متر مکعب ماسه (تقریبا به اندازه‌ی خانه‌ای معمولی) برای برابری با تمام ستارگان کهکشان راه شیری کفایت می‌کند. درنتیجه برای برابری با کهکشان بزرگی همچون محله‌ی کیهانی ما، به حجم زیادی از ماسه‌های ساحلی نیاز نداریم.

از اینجا به بعد اعداد مبهم‌تر می‌شوند. به‌عنوان مثال، یک ساحل چقدر بزرگ است؟ فرض کنید اندازه‌ی ساحلی که از لبه‌ی اقیانوس تا زمین‌های بلندتر، درمعرض دید است، به ۵۰ متر می‌رسد و ۱۰ متر عمق دارد. اکنون صرفا به طول تمام سواحل با هم نیاز داریم.

در کمال تعجب، این عدد محاسبه شده است: طول کل خط ساحلی در اطراف تمام قاره‌های زمین، تقریبا ۲٫۵ میلیون کیلومتر است. تمام این سواحل ماسه‌ای نیستند؛ اما خوشبختانه اندازه‌ی سواحل ماسه‌ای تعیین شده است: نزدیک به ۳۰ درصد از خط ساحلی جهان از نوع ماسه‌ای است. می‌توانیم سخت‌گیر باشیم و جنوبگان را از عدد اول حذف کنیم تا به پاسخ نزدیک‌تر برسیم. در این صورت، ما ۷۵۰هزار کیلومتر یا ۷۵۰ میلیون متر ساحل ماسه‌ای داریم.

برای یافتن حجم کل ماسه باید این گونه محاسبه کنیم: ۵۰ متر عرض ضرب‌در ۱۰ متر عمق ضرب‌در ۷۵۰ میلیون متر طول = ۳۷۵ میلیارد متر مکعب. اگر با همان تخمین یک میلیارد دانه ماسه در هر متر مکعب جلو برویم، بدین معنی است که ۳۷۵ میلیارد ضرب‌در یک میلیارد = ۳۷۵ کنتیلیون دانه ماسه وجود دارد. اگر عدد را به ۴۰۰ گرد کنیم، آنگاه ۴ ضرب‌در ۱۰ به توان ۲۰ دانه ماسه در کل زمین یافت می‌شود.

پاسخ به‌دست‌آمده درواقع ۲۰ برابر تعداد ستارگان موجود در جهان مشاهده‌پذیر است. درنتیجه، جمله‌ی قصار سیگن در ظاهر اشتباه است.

از سوی دیگر، ۱۰ میلیون ستاره در هر کهکشان ممکن است بیش از حد کم باشد. این امکان وجود دارد که اکثر کهکشان‌ها بسیار بیشتر از این، دارای ستاره باشند. بااین‌حال، به احتمال زیاد ستارگان همچنان نمی‌توانند مزیت عظیم ماسه‌های سواحل زمین را جبران کنند.

باید درنظر داشت که ما فقط ماسه‌های سواحل را درنظر گرفتیم. اگر به کف اقیانوس‌ها و بیابان‌ها نگاه کنیم، تعداد ماسه‌ها به‌طرز خارج از تصور بالا می‌رود. صحرای بزرگ آفریقا احتمالا به‌تنهایی صدها برابر از مجموع سواحل زمین، ماسه دارد.

آیا از نتیجه شگفت‌زده شدید؟ زیبایی مسائل فرمی همین است. می‌توانید اعداد تخمینی را سریع به‌دست آورید و بینید با تصورتان چقدر فاصله دارند. مغز ما برای درک چنین اعداد عظیمی تکامل نیافته است؛ درنتیجه دور بودن تصوراتمان از واقعیت دور از انتظار نیست. اما ریاضیات و علوم برای همین است؛ اینکه ما را از فریفتن خودمان بازدارند.