نظریه آشوب و اثر پروانه‌ای به زبان ساده؛ وقتی تغییرات کوچک، جهان را تکان می‌دهند

به‌کمک قوانین نیوتن، دانشمندان توانستند خورشیدگرفتگی‌ و عبور ستاره‌های دنباله‌دار از نزدیکی زمین را با دقتی بالا پیش‌بینی کنند. پیر سیمون لاپلاس (Pierre-Simon Laplace)، فیزیک‌دان فرانسوی، این ایده را در قالب یک آزمایش ذهنی مشهور خلاصه کرد.

او موجودی فراهوشمند را تصور کرد که اکنون آن را به‌نام دیو لاپلاس (Laplace’s Demon) می‌شناسیم. این موجود خیالی، اطلاعات کاملی از وضعیت کنونی جهان در اختیار داشت؛ موقعیت مکانی و سرعت تمام ذرات و چگونگی برهم‌کنش آن‌ها با هم. براساس نتیجه‌گیری لاپلاس، اگر این هوش بی‌نهایت بتواند داده‌ها را تحلیل کند، آینده، درست مانند گذشته، در برابر چشمانش آشکار خواهد شد.

وضعیت کنونی جهان را می‌توان نتیجه‌ی گذشته و علت آینده‌ی آن دانست. اگر ذهنی وجود داشته باشد که در هر لحظه، از تمام نیروهای طبیعت و جایگاه دقیق تمام اجزای آن آگاه باشد و بتواند این اطلاعات را تحلیل کند، آن‌گاه با یک فرمول می‌تواند هم حرکت عظیم‌ترین اجرام کیهانی و هم جنبش کوچک‌ترین اتم را توصیف کند. برای چنین هوشی، هیچ‌چیز، نامعلوم نخواهد بود؛ آینده، درست مانند گذشته، کاملاً در برابر چشمانش نمایان خواهد شد

– پیر سیمون لاپلاس، فیزیک‌دان فرانسوی

این موضوع، همان جبرگرایی مطلق است؛ دیدگاهی که می‌گوید آینده از پیش تعیین شده است. اگر کمی با مفاهیم فیزیک آشنا باشید، این طرز فکر کاملاً طبیعی به‌نظر می‌رسد. البته، مکانیک کوانتومی با اصل عدم قطعیت هایزنبرگ نشان می‌دهد که در مقیاس اتمی، پیش‌بینی کامل آینده ممکن نیست؛ اما در مقیاس‌های بزرگ‌تر، این عدم قطعیت آن‌قدر ناچیز است که تقریباً هیچ تاثیری ندارد.

بنابراین، از نگاه کلاسیک، جهان مانند ماشینی بسیار بزرگ عمل می‌کند که تمام اتفاقاتش از قبل مشخص‌ شده‌اند؛ فقط باید صبر کنیم تا رخ دهند. اصل عدم قطعیت هایزنبرگ یکی از معدود مفاهیم فیزیک کوانتوم است که فراتر از دنیای علم رفته و به فرهنگ عامه راه پیدا کرده است.

همان‌طور که گفتیم، اثر پروانه‌ای نشان می‌دهد که حتی تغییرات جزئی در نقطه‌ی شروع یک سیستم پویا می‌تواند مسیر آینده‌ی آن را کاملاً دگرگون کند. در اینجا، برای درک بهتر چنین رفتارهایی، نیاز داریم تا مفهومی به‌نام فضای فاز را با آزمایش ساده آونگ بررسی کنیم، که تمام حالت‌های ممکن یک سیستم را در یک نمودار دوبعدی یا چندبعدی نمایش می‌دهد.

به‌احتمال زیاد بیشتر شما با نمودارهای مکان زمان یا سرعت زمان آشنا هستید. نمودارهایی که مکان و سرعت اجسام را در زمان‌های مختلف نشان می‌دهند. اگر بخواهیم نموداری دوبعدی داشته باشیم که هر حالت ممکنِ یک آونگ را نشان دهد، چه کاری باید انجام دهیم؟

فرض کنید آونگ در حالت تعادل، به‌صورت عمودی از نقطه‌ای آویزان شده است. روی محور x می‌توانیم زاویه‌ی آونگ نسبت به حالت تعادل یا حالت عمودی و روی محور y، سرعت آونگ را نشان دهیم. به این نمودار، نمودار فازی می‌گوییم.

اگر مقاومت هوا را در نظر بگیریم، سرعت آونگ با گذشت زمان کاهش می‌یابد و درنهایت متوقف می‌شود. در فضای فاز، این روند با یک مارپیچ به سمت داخل نمایش داده می‌شود؛ یعنی هر بار که آونگ نوسان می‌کند، دامنه و سرعت آن کاهش می‌یابد. اینکه آونگ چگونه حرکت خود را آغاز کرده باشد، مهم نیست، زیرا سرنوشت نهایی آن همواره یک چیز است: ایستادن در حالت تعادل، دقیقاً در پایین‌ترین نقطه.

اگر به نمودار نگاه کنیم، به نظر می‌رسد که تمام مسیرها به سمت یک نقطه‌ی خاص جذب می‌شوند؛ نقطه‌ای که آونگ در آن متوقف می‌شود.

با نادیده گرفتنِ مقاومت هوا، آونگ، هیچ انرژی‌ای از دست نمی‌دهد و بدون تغییر سرعت و دامنه، نوسان می‌کند. این رفتار در فضای فاز به شکل حلقه‌ای بسته دیده می‌شود. دلیل این اتفاق آن است که آونگ در پایین‌ترین نقطه‌ی مسیر، بیشترین سرعت را دارد، اما با حرکت رفت و برگشت، جهت سرعتش تغییر می‌کند.

وجود حلقه‌ی بسته در نمودار، حرکتی دوره‌ای یا تناوبی و قابل‌پیش‌بینی را به ما نشان می‌دهد. در واقع، هر بار که چنین الگویی را در فضای فاز ببینیم، می‌دانیم سیستم به‌طور منظم و بدون تغییر، حرکتِ یکسانی را تکرار خواهد کرد.

آونگ می‌تواند با دامنه‌های متفاوت، نوسان کند. این حالت هنگامی رخ می‌دهد که آونگ با زاویه‌های متفاوت رها شده باشد. تصویر در فضای فاز، دوباره حلقه‌ی بسته است، اما با اندازه‌های متفاوت. هرچه دامنه‌ی نوسان کوچک‌تر باشد، حلقه‌ی داخل فضای فاز نیز کوچک‌تر خواهد بود.

نکته‌ی مهم آن است که منحنی‌ها یا همان حلقه‌ها، در فضای فاز هرگز یکدیگر را قطع نمی‌کنند. زیرا هر نقطه در فضای فاز، وضعیت کامل سیستم را در هر لحظه‌، مشخص می‌کند و این وضعیت فقط یک آینده‌ دارد. به بیان ساده، اگر شرایط اولیه‌ی سیستم را بدانیم، آینده‌ی آن کاملاً مشخص و از پیش تعیین‌شده خواهد بود.

حرکت یک آونگ را می‌توان به‌خوبی با فیزیک نیوتنی توصیف کرد، اما خود نیوتن می‌دانست که همه‌ی مسائل به این سادگی قابل‌حل نیستند. یکی از چالش‌های معروف، مسئله‌ی سه‌جسمی بود.

به‌عنوان مثال، محاسبه‌ی حرکت زمین به دور خورشید با استفاده از قوانین نیوتن نسبتاً ساده است، چون فقط دو جسم در نظر گرفته می‌شوند. اما اگر جسم دیگری، مانند ماه، به این سیستم اضافه شود، پیش‌بینی دقیق حرکت‌ها بسیار پیچیده و تقریباً غیرممکن می‌شود.

مسئله‌ی سه‌جسمی یکی از چالش‌های مهم در فیزیک و نجوم است که به برهم‌کنش میان سه جرم آسمانی می‌پردازد. اگر فقط دو جسم مانند زمین و ماه را در نظر بگیریم، معادلات نیوتن به‌راحتی حرکت آن‌ها را توصیف می‌کنند. این دو جرم حول یک مرکز جرم مشترک می‌چرخند، که در فاصله‌ای مشخص، درون زمین قرار دارد.

همین موضوع برای سیستم خورشید و زمین نیز صادق است. اما مشکل زمانی شروع می‌شود که جرم سومی، مانند مشتری، وارد این معادله شود. نیوتن دریافت که تاثیرات جزیی اما مداوم سیارات بزرگ، مانند مشتری، می‌توانند مدار زمین را تغییر دهند و حتی منجر به بی‌ثباتی آن شوند.

برای حل این مشکل، ریاضیدانان، شاخه‌ای جدید از ریاضیات را به‌نام نظریه‌ی اختلال توسعه دادند. این نظریه نشان داد که تاثیرات مداوم سیارات بزرگ در طول زمان خنثی می‌شوند. اما هنگامی‌که سه جرمِ هم‌جرم و در فاصله‌ی نزدیک به هم قرار داشته باشند، برهم‌کنش‌ها به‌شدت پیچیده و غیرقابل‌پیش‌بینی می‌شوند.

در این حالت، پیش‌بینی مدار سه جسم به روش تحلیلی غیرممکن است و حرکت آن‌ها رفتاری آشوبناک دارد. یعنی تغییرات کوچک در شرایط اولیه، تفاوت‌های بسیار بزرگی را در مدارهای آن‌ها در طول زمان ایجاد می‌کند.

اضافه شدن جسم سوم مانند ماه یا مشتری به سیستم زمین و خورشید، ذهن نیوتن را به‌هم ریخت، به‌گونه‌ای که شب‌ها خوابش نمی‌برد و دچار سردردهای عصبی شده بود. درنهایت، پیچیدگی‌های این مسئله آن‌قدر نیوتن را خسته کرد که تصمیم گرفت هرگز به آن فکر نکند.

حدود ۲۰۰ سال بعد، هنری پوانکاره به این موضوع پی برد که جواب ساده‌ای برای مسئله‌ی سه‌ جسم وجود ندارد. در واقع، این دانشمند به نظریه‌ای رسید که بعدها به‌نام نظریه‌ی آشوب شناخته شد.

نظریه آشوب (Chaos Theory) شاخه‌ای از ریاضیات و فیزیک است که به رفتار سیستم‌های پویا و غیرخطی می‌پردازد؛ سیستم‌هایی که به‌شدت به شرایط اولیه وابسته‌اند و پیش‌بینی‌پذیری آن‌ها در بلندمدت دشوار یا حتی غیرممکن است. برخلاف تصور رایج، آشوب به معنای بی‌نظمی محض نیست، بلکه الگوهای پنهانی در دل آن وجود دارد.

نظریه آشوب دربردارنده‌ی چهار ویژگی اصلی است:‌

• حساسیت به شرایط اولیه: تغییرات جزئی در نقطه‌ی شروع یک سیستم می‌تواند نتایج کاملاً متفاوتی در آینده ایجاد کند (اثر پروانه‌ای).
• پیش‌بینی‌ناپذیری در بلندمدت: حتی اگر مدل دقیقی از یک سیستم داشته باشیم، در یک بازه زمانی طولانی نمی‌توان آن را با دقت بالا پیش‌بینی کرد.
• رفتار غیرخطی و بازخوردهای پیچیده: در این سیستم‌ها روابط ساده‌ی علت و معلولی وجود ندارد؛ خروجی‌ها می‌توانند به‌شدت غیرمنتظره باشند.
• ساختارهای فراکتالی و الگوهای تکرارشونده: بسیاری از سیستم‌های آشوبناک دارای الگوهای مشابه در مقیاس‌های مختلف هستند.

نظریه‌ آشوب در دهه‌ی ۶۰ میلادی به‌طور جدی مورد‌توجه قرار گرفت؛ زمانی که هواشناسی به‌نام اِد لورنتس تلاش کرد تا به‌کمک کامپیوتر، شبیه‌سازی ساده‌ای از جو زمین انجام دهد. لورنتس، ۱۲ معادله و ۱۲ متغیر مانند دما، فشار، رطوبت و دیگر پارامترهای جوی در اختیار داشت. کامپیوتر، برای هر گام زمانی، یک ردیف از ۱۲ عدد را به‌عنوان نتایج به‌دست آمده چاپ می‌کرد که تغییرات پارامترها را در طول زمان نشان می‌داد.

نقطه‌ی عطف، زمانی رخ داد که لورنتس تصمیم گرفت شبیه‌سازی را دوباره اجرا کند؛ این‌بار با عددهایی که از وسط یکی از خروجی‌های قبلی گرفته بود. لورنتس پس از وارد کردن داده‌ها به کامپیوتر و شروع شبیه‌سازی، از اتاق خارج شد تا قهوه‌ای بخورد؛ اما پس از بازگشت و مشاهده‌ی نتایج به‌دست آمده، شوکه شد. شبیه‌سازی جدید نه‌تنها مشابه شبیه‌سازی قبلی پیش نرفته بود، بلکه به‌طور کامل از آن منحرف شده و به حالت کاملاً متفاوتی از جو و آب‌وهوا رسیده بود.

این اتفاق نشان داد که حتی تغییرات بسیار کوچک و ریز در داده‌ها می‌توانند منجر به انحرافات بزرگ در نتایج شوند. این کشف برای لورنتس شوک‌آور بود. او دریافت که حتی در سیستم‌های پیچیده‌ای که ظاهراً به‌طوردقیق قابل‌پیش‌بینی هستند، شرایط اولیه نقش پررنگی در تعیین نتیجه‌ی نهایی ایفا می‌کنند.

علت واقعی این اختلاف به دقت محاسبات برمی‌گشت. چاپگر، اعداد را تا سه رقم اعشار گرد می‌کرد، در حالی که کامپیوتر، محاسبات را با شش رقم اعشار انجام می‌داد. درنتیجه، پس از وارد کردن داده‌ها، یک تفاوت جزیی، کمتر از یک هزارم، باعث شد که پس از مدتی کوتاه، پیش‌بینی آب‌وهوا کاملاً متفاوت پیش رود.

لورنتس برای درک بهتر این پدیده، تصمیم گرفت معادلاتش را ساده‌تر کند و درنهایت به سه معادله و سه متغیر رسید: مدلی ساده‌شده از همرفت (جابجایی گرمایی) که مقطعی دوبعدی از جو زمین را شبیه‌سازی می‌کرد؛ جایی که هوا از پایین گرم و از بالا سرد می‌شد.

مثال‌هایی از نظریه آشوب را می‌توان در دنیای واقعی مشاهده کرد: برای مثال، آب‌وهوا که کوچک‌ترین تغییر در دما یا فشار می‌تواند در طول زمان به تغییرات شدید جوی منجر شود؛ یا بازارهای مالی که در آن نوسانات شدید سهام گاهی نتیجه‌ی عوامل بسیار کوچک و غیرقابل‌پیش‌بینی هستند؛ یا اکوسیستم‌ها که در آن نابودی یک گونه‌ی خاص می‌تواند تعادل کل زنجیره غذایی را تغییر دهد.

از آنجاکه لورنتس با سه متغیر کار می‌کرد، می‌توانیم فضای فازی سیستم او را در یک نمودار سه‌بعدی ترسیم کنیم. این فضا به ما نشان می‌دهد که وضعیت سیستم چگونه در طول زمان تغییر می‌کند.

می‌توانیم یک نقطه‌ی دلخواه را به‌عنوان حالت اولیه‌ی سیستم انتخاب و تکامل مسیر آن را دنبال کنیم. آیا این نقطه به یک وضعیت پایدار می‌رسد یا در یک مسیر تکرارشونده (یک حلقه‌ی بسته) قرار می‌گیرد؟ این‌گونه به نظر می‌رسد که هیچ‌کدام از این دو حالت رخ نمی‌دهد. در حقیقت، این سیستم هیچ‌وقت حالت مشابهی را مشاهده نمی‌کند.