ریاضیات، ابداع بشریت یا بخشی جدایی‌ناپذیر از هستی؟

بسیاری از مردم تصور می‌کنند ریاضیات یکی از ابداعات بشر است. از این دیدگاه، ریاضیات مانند یک زبان است؛ شاید پدیده‌های واقعی در جهان را شرح دهد ولی خارج از ذهن افرادی که از آن استفاده می‌کنند، وجود ندارد.

اما مکتب فیثاغورسی در یونان باستان نظر دیگر دارد. طرفداران این دیدگاه باور دارند که هستی بر پایه ریاضیات بنا شده است. پس از سپری شدن بیش از دو هزار سال، فلاسفه و فیزیکدان‌ها شروع به جدی گرفتن این ایده کرده‌اند. همان‌طور که من (سَم بارون، نویسنده متن اصلی) در مقاله جدیدی استدلال کرده‌ام، ریاضیات یکی از اجزای اساسی طبیعت است که به جهان فیزیکی، ساختار می‌بخشد.

زنبور‌های عسل و شش ضلعی‌ها

زنبور‌های درون کندو، شانه‌های عسل را به شکل شش ضلعی می‌سازند. ولی چرا؟

براساس «تخمین شانه عسل» در ریاضیات، شش ضلعی‌ها بهینه‌ترین شکل هندسی برای پوشش یک سطح هستند. اگر بخواهید سطحی را با کاشی‌هایی یک‌شکل و هم‌اندازه بپوشانید، درحالی‌که مجموع محیط‌ها کمینه باشد، باید از شش ضلعی استفاده کنید.

چارلز داروین استدلال می‌کند زنبور‌ها به این خاطر از این شکل هندسی استفاده می‌کنند که بزرگ‌ترین سلول‌ها برای نگه‌داری از عسل را در مقابل کمترین انرژی صرف‌شده برای ساخت موم فراهم می‌کند.

تخمین شانه عسل نخستین بار در دوران باستان ارائه شده، ولی برای اولین بار در سال ۱۹۹۹ به دست توماس هِیلز اثبات شد.

زنجره‌ها و اعداد اول

اجازه دهید یک نمونه دیگر را بررسی کنیم. دو زیرگونه از زَنجِره‌های دوره‌ای در آمریکای شمالی زندگی می‌کنند که بیشتر طول عمرشان را زیر زمین می‌گذرانند. هر ۱۳ یا ۱۷ سال یکبار (بسته به نوع زیرگونه)، زنجره‌ها در شمار باورنکردنی‌ای از زمین بیرون می‌آیند و تمام سطح زمین را می‌پوشانند.

چرا این پدیده هر ۱۳ و ۱۷ سال رخ می‌دهد؟ چرا هر ۱۲ و ۱۴ سال نه؟ یا هر ۱۶ و ۱۸ سال؟

یکی از تلاش‌ها برای توجیه این موضوع به عدد اول بودن ۱۳ و ۱۷ اشاره می‌کند. تصور کنید زنجره‌ها شکارچیانی دارند که آن‌ها نیز بیشتر عمرشان را زیر زمین سپری می‌کنند. زنجره‌ها برای رسیدن به سطح زمین نیاز دارند که شکارچیان‌شان بالغ نشده باشند یا در دوره خفتگی باشند.

فرض کنید شکارچیانی با چرخه زندگی ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸و ۹ ساله وجود داشته باشند. بهترین راه برای اجتناب از همه آن‌ها چیست؟

در اینجا به مقایسه یک چرخه زندگی ۱۳ ساله با یک چرخه زندگی ۱۲ ساله می‌پردازیم. زمانی که یک زنجره با چرخه زندگی ۱۲ ساله از زمین بیرون می‌آید، شکارچیان ۲، ۳ و ۴ ساله نیز از زمین بیرون می‌آیند، زیرا ۱۲ بر تمام این اعداد بخش‌پذیر است.

ولی زمانی که یک زنجره با چرخه زندگی ۱۳ ساله از زمین بیرون می‌آید، هیچ یک از شکارچیان از زمین خارج نمی‌شوند. زیرا ۱۳ بر هیچ یک از اعداد ۲ تا ۹ بخش‌پذیر نیست و فقط بر ۱۳ بخش‌پذیر است. این مثال درباره عدد ۱۷ نیز صدق می‌کند.

P1 تا P9 نشانگر شکارچیان دوره‌ای هستند. خطوط و شماره‌های زیرشان نشانگر سال‌ها هستند. شکاف‌های پر شده با رنگ، نشان می‌دهند چطور زنجره‌های ۱۳ و ۱۷ ساله از مواجهه با شکارچیان اجتناب می‌کنند. (تصویر از سم بارون)

به نظر می‌رسد این زنجره‌ها برای استفاده از این موضوع ریاضی تکامل یافته باشند.

ابداع یا کشف؟

اگر شروع به جستجو کنیم، پیدا کردن نمونه‌های دیگر سخت نخواهد بود. از شکل غشا‌ی حباب‌های صابون تا چرخ‌دنده‌های مورد استفاده در موتور‌ها و اندازه شکاف‌های بین حلقه‌های زحل، ریاضیات همه‌جا حضور دارد.

اگر ریاضیات می‌تواند پدیده‌های بسیاری از پیرامون ما را توضیح دهد، بعید است ساخته ذهن ما باشد. توضیح جایگزین این است که حقایق ریاضی کشف می‌شوند. نه‌تنها توسط انسان‌ها، بلکه توسط حشرات، حباب‌های صابون، موتور‌های احتراقی و سیارات.

افلاطون چه فکری می‌کرد؟

اگر ما در حال کشف چیزی هستیم، آن چیز چیست؟

افلاطون، فیلسوف بزرگ یونان باستان اعتقاد داشت ریاضیات، اُبژه‌هایی (object) که واقعا وجود دارند را توضیح می‌دهد. از نظر افلاطون این ابژه‌ها شامل اعداد و اشکال هندسی نیز می‌شد. امروزه ما ابژه‌های ریاضی پیچیده‌تری مانند گروه‌ها، رسته‌ها، توابع، میدان‌ها و حلقه‌ها را به این فهرست اضافه کرده‌ایم.

همچنین افلاطون اعتقاد داشت که ابژه‌های ریاضی، مستقل از فضا و زمان هستند. ولی این دیدگاه راز چگونگی تبیین جهان توسط ریاضیات را عمیق‌تر می‌کند.

یک تبیین، باید چگونگی وابستگی یک پدیده در جهان به پدیده‌ای دیگر را نمایش دهد. اگر ابژه‌های ریاضی در قلمرویی مستقل از جهانی که در آن زندگی می‌کنیم وجود داشته باشند، به نظر نمی‌رسد توانایی ارتباط با پدیده‌های فیزیکی را داشته باشند.

ظهور مکتب فیثاغورسی

فیثاغورسیان باستانی با نظر افلاطون که ریاضیات، جهان ابژه‌ها را توضیح می‌دهد، موافق هستند. ولی بر خلاف افلاطون، آن‌ها ابژه‌های ریاضی را فراتر از فضا و زمان نمی‌دانند. به اعتقاد آن‌ها واقعیت‌های فیزیکی از ابژه‌های ریاضی ساخته شده‌اند، همان‌طور که ماده از اتم ساخته شده است.

اگر هستی از ابژه‌های ریاضی ساخته شده باشد، توضیح اینکه ریاضیات چگونه در جهان پیرامون ما نقش‌آفرینی می‌کند، آسان می‌شود.

دستور تهیه پای فیثاغورثی؛ جهان از ریاضیات به اضافه ماده تشکیل شده است. (تصویر از سم بارون)

در چند دهه گذشته، دو فیزیکدان دفاعیات مهمی از موضع فیثاغورسی داشته‌اند؛ مکس تگمارک، کیهان‌شناس سوئدی-آمریکایی و جِین مک‌دانل، فیلسوف و فیزیکدان استرالیایی.

تگمارک هستی را صرفا یک ابژه ریاضی بزرگ معرفی می‌کند. اگر این دیدگاه برایتان عجیب است به ایده شبیه‌سازی بودن جهان فکر کنید. شبیه‌ساز یک برنامه کامپیتوری است که نوعی از ابژه‌های ریاضی محسوب می‌شود.

دیدگاه مک‌دانل از این هم افراطی‌تر است. از نظر او هستی از ابژه‌های ریاضی و ذهن‌‌ها ساخته شده است. ریاضیات روشی است که جهان، که در این دیدگاه دارای خودآگاهی است، به شناخت از خود می‌پردازد.

من از دیدگاه دیگری دفاع می‌کنم: جهان از دو بخش تشکیل شده، ریاضیات و ماده. ریاضیات به ماده شکل می‌دهد و ماده به ریاضیات وجود می‌بخشد. ابژه‌های ریاضی چارچوب ساختاری را برای جهان فیزیکی فراهم می‌کنند.

آینده ریاضیات

بازگشت به مکتب فیثاغورسی در فیزیک قابل پیش‌بینی بود. در قرن گذشته، فیزیک هر روز بیشتر به ریاضیات تکیه کرده و به مفاهیم انتزاعی مانند نظریه گروه‌ها و هندسه دیفرانسیل برای توضیح جهان فیزیکی روی آورده است. هرچه مرز بین فیزیک و ریاضیات محوتر شده، گفتن اینکه کدام بخش از جهان فیزیکی و کدام بخش ریاضی است سخت‌تر شده است.

نادیده گرفتن تفکر فیثاغورسی برای مدت طولانی هزاران ساله، بسیار عجیب است، ولی من فکر می‌کنم این روند در حال تغییر است. زمان آن فرا رسیده تا انقلاب فیثاغورسی شناخت ما از واقعیت را از بنیان تغییر دهد.